本文计算了戴森球计划中使用串联的分馏塔生产氘的速率。
计算比较简单，主要是为了测试博客的数学公式能否正常显示。
游戏背景介绍
氘在戴森球计划中是一种重要的物资，其用途包括用于核聚变发电、生产奇异物质等。
氘可以通过三种方式生产：
- 直接在某些气态行星上开采。
可开采氘的气态行星比较少见，是稀有资源，在前期不一定能找到并有效利用。 - 通过粒子对撞机产生。
这种方式生产氘的效率很高，但同时也十分耗电。其所需的材料和科技也要到后期才能解锁。 - 通过分馏塔从氢中以1%的概率产生氘。
生产效率较低，但是所需科技在前期就能解锁。
下面将来计算一组串联的分馏塔生产氢的速率。
分馏塔的数学模型
因为这个游戏里的分馏塔和现实中的不太相符(不太科学)，所以有必要单独说明一下游戏中分馏塔的原理，这对我们后面的计算来说至关重要。
游戏中的分馏塔有一个入口接收氢，然后对于每一个接收到的氢，有1%的概率将其转化为氘从侧面的出口A输出，剩下的没有转化的氢从另一个出口B输出。
值得注意的是这里输出的分馏剩下的氢(即出口B的氢)仍然可以作为分馏塔的输入，且其转化为氢的概率不变。也就是说，只要经过的分馏塔足够多，你甚至可以把任意数量的氢全部转化为氘。
这一点和现实是不符的。氘作为氢的同位素在自然界中只以一定比例存在。不过这一点想要在游戏中完全还原出来是十分困难的，尤其是涉及到氢的多种转换以及相互混合的时候。
串联分馏塔
所谓串联分馏塔就是每一个分馏塔将前一个分馏塔出口B的氢输出作为自己的氢输入。
这样串联设计的好处在于工厂布局简单，缺点在于氘生产速率相对于并联有小幅的下降。
假设第$ i $个传送带的输入氢的速率为$vi$，那么由串联定义可知其输出氢的速率为$v{i+1}$ 。
记$p=\frac{1}{100}$为氢转化为氘的概率。则第$i$个分馏塔产生氘的速率为$v_i\times p$。
那么由分馏塔的数学模型可知：
记分馏塔的个数为$N$。
氘的总生产速率为：
高速传送带的运送速度为$v_1 = 720个/min$，一个生产氘核燃料棒的高速制造台对氘的消耗速率为$100个/min$，为了维持这个高速制造台的全速运转，需要至少$N=15$个分馏塔，此时氘的生产速率大约为$100.76个/min$。
课后题
串联分馏塔问题其实可以从更简单的视角得出答案。这里留作思考题。
提示：考虑一个氢经过了N个分馏塔仍没有被转化为氘的概率。
一个相似的问题，留作习题：
Sumbon的高中食堂统一使用一种餐盘。有一天Sumbon在吃饭的时候发现，自己的数学老师在吃完之后把餐盘从头到尾舔了一遍。他想知道自己正在用的这个餐盘曾被数学老师舔过的概率为多少。
即要求解以下问题：已知食堂一共有m个餐盘，每次数学老师去食堂吃饭是都会随机挑选一个餐盘使用，且每次吃完之后都会把餐盘舔一遍。已知数学老师已经在食堂用餐n次。求Sumbon在所有餐盘中随机挑选一个，其被数学老师舔过的概率为多少。提示：暴力计算可以通过建立递推式来得到答案。和上一题一样，一种较简单的思路是考虑一个盘子自始至终没有被舔过的概率。